MÉTODOS DE CONTEO  
Como se vio, para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar  el número de elementos del espacio muestral  S y el número de elementos de evento A. 
Cuando el conjunto es pequeño no hay problema, pero cuando los conjuntos contienen muchos elementos toca acudir a unas técnicas de conteo especiales llamadas métodos de conteo.  
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN 
La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en 1 n formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en 2 n y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación 3n formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en k nnn ,...,12 formas  
Ejemplo ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?  
Como      1 n = 4,  2 n = 3, 3 n = 5 y 4 n = 4  hay en total  
 1 n X 2 n X 3 n X  4 n = 4 X 3 X 5 X  4 = 240 almuerzos diferentes para elegir   
PRINCIPIO DE LA SUMA .  
 Supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer de n1 formas. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se puede hacer de n2 formas. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n2. 
Ejemplo.  
Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.  
 PERMUTACIONES . 
Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. 
El número de permutaciones de n objetos distintos es n!. 
Ejemplo: 
De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en una fila. 
7x 6x 5x 4x 3x 2x 1
  
7  x   6  x  5  x  4  x   3  x  2 x  1  =  7!  = 5040. 
Ejemplo. 
El número de permutaciones de 4 letras: a, b, c, d. será 4! = 24. 
El número de permutaciones de n objetos distintos de r a la vez es. 
( )! ! nr n
pr n
−
= 
Ejemplo  
El número de permutaciones de las cuatro letras a, b, c, d al tomar dos a la vez será: 
Ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc. 
4x 3
 4*3 = 12,       12 !2 4!
=
  
El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es:     (n-1)!. 
Ejemplo. 
De cuantas formas se pueden plantar cinco árboles diferentes en un circulo? 
Solución    n = 5  entonces el número de permutaciones es :   ( 5 – 1 ) ¡ = 4! = 24. 
El número de permutaciones distintas de n cosas de las que 1 n son de una forma, 2 n de una segunda forma, …, k n de una k-ésima forma es:

knnnn n
L 13 2
! 
Ejemplo 
De cuántas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en una serie de luces navideña com9 portalámparas?  
Solución 
El número total de arreglos es: 
1260
!2!4!3 9!
= 
El número de formas  de partir  un conjunto de n objetos en r celdas con 1 n elementos en la primera celda, 2 n elementos en la segunda, y así sucesivamente, es: 
!!! ! 1212 r r nn n n nnn n
L
L
=
     
 
Donde  nn nn r
=
+
+
+
L 12 
Ejemplo 
¿En cuántas formas se pueden asignar siete científicos a una habitación de hotel triple y a dos dobles? 
Solución 
El número total de particiones posibles sería: 
210
3!2!2! 7!
3,2,2
7
=
=
     
  
COMBINACIONES 
En muchos problemas nos interesamos en el número de formas de seleccionar r objetos de n sin importar el orden. Estas selecciones de llaman combinaciones. Una combinación es realmente una partición con dos celdas, una celda contiene los r objetos seleccionados y la otra contiene los (n – r ) objetos restantes. 
El número de tales combinaciones, denotado por: 
     
 
     
 
−
r n
se reduceageneralpor lo
nrr n
,
,  
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es  
)!!( ! nrr n
r n
−
=
     
  
Ejemplo 
De cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités que se pueden formar que consistan en dos químicos y un físico. 
Solución 
El número de formas de seleccionar a dos químicos, de cuatro es 6 2!2! 4! 2 4
=
=
     
 
. 
El número de formas de seleccionar un físico, de tres es 3 1!2! 3! 1 3
=
=
     
 
Al usar la regla de la multiplicación tenemos 6 1
= n y 3 2
= n , podemos formar:
183)(6)(12
=
= nn Comités con 2 químicos y 1 físico.

EJEMPLOS DE EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS

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A cada experimento aleatorio (E) se le puede asignar un espacio muestral (U)específico, en que se indican los resultados posibles del experimento E. A su vez un subconjunto del espacio muestral se denomina envento o suceso (A).
EJEMPLOS
E1: Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. U1
E2: Se lanza una monede cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas. U2
E3: Se fabrica un artículo en una línea de producción y se observa si la pieza es defectuosa. U3
E4: Se fabrica un artículo en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 hs. U4
E5: Se fabrica un artículo en una línea de producción se obtiene una muestra de 5 piezas entre las producidas y se cuenta el número de piezas defectuosos. U5
E6. Se mide la temperatura continuamente durante 24 hs, en un sitio y fecha señalados.
E7: Se lanza un proyectil. Después de un tiempo determinado "t", se mide la velocidad (incluyendo dirección y sentido de movimiento).
E8: Se mide la resistencia de una barra de acero.
E9: Se cuenta la cantidad fumadores en un curso de alumnos determinado.

---

E1: Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior.
    Para E1 corresponde el espacio muestral U1.
U1= {1;2:3;4;5;6}
Ejemplos de sucesos o eventos:
A:  salió número par en el dado del experimento E1
A: = {2;4;6}
B: salió as en el dado del experimento E1
B= {as}
C: salió un número menor a 4 en el experimento E1
 Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que unidos ambos sucesos forman el espacio muestral. Por ejemplo:
A´:  salió número impar en el dado del experimento E1
A´ = {1;3;5}
AnA´=Ø
AnA´=U
Otros Ejemplos:



E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.
     Espacio muestral: U2:
U2= {0;1;2;3;4}
Ejemplos de sucesos o eventos:
A₂:  salió la cantidad de caras un número par de veces en el experimento E2
A₂: = {2;4}
B₂: salieron a lo sumo dos caras en el experimento E2
B₂= {0;1;2}
C₂: salieron por lo menos dos caras en el experimento E2
C₂= {2;3;4}
 Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que unidos ambos sucesos forman el espacio muestral. Por ejemplo:
B₂ y C₂ no son complementario
B₂∩C₂={2}
Un conjunto complementario al B sería B´
B₂´= salieron más de dos caras en el experimento E2
B₂´ = {3;4}
B₂∩B₂´=Ø
Otros Ejemplos:



E3: Se fabrica un artículo en una línea de producción y se observa si la pieza es defectuosa.
     Espacio muestral: U3: 
U3= {pieza defectuosa; pieza NO defectuosa}
  Ejemplos de sucesos o eventos:
A3= {pieza defectuosa}
El conjunto complemento al suceso A3 es A3´= {pieza NO defectuosa}
Otros Ejemplos:



E4: Se fabrica un artículo en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 hs.
     Espacio muestral: U4:
U4= {0;1;2:3;....;n}, donde " n" representa la cantidad total de piezas producidas ese día.
Ejemplos de sucesos o eventos:
Otros Ejemplos:



E5: Se fabrica un artículo en una línea de producción se obtiene una muestra de 5 piezas entre las producidas y se cuenta el número de piezas defectuosos .
     Espacio muestral: U5
U5= {0;1;2:3;4;5}

Ejercicios resueltos del Principio Multiplicativo. 

Ejercicios resueltos del Principio Multiplicativo.

 1.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos no pueden repetirse.

Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se
elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:

7x6x5 = 210 números

2.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden
repetirse.

Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x7x7 = 343 números

3.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.

Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

3x2x1 = 6 maneras diferentes

4.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.

Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los
tres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.

Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

4x3x2 = 24 maneras diferentes

5.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.

Solución:

La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x6x5x4 = 840 passwords

6.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras se pueden diseñar con las letras de la palabra memoria.

Solución:
En este problema no se indica la condición de que las letras deben ser distintas, por lo tanto, pueden repetirse y puesto que la palabra memoria tiene siete letras distintas, tendremos:

7x7x7x7 = 2401 passwords

7.- Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y
{1,3,4,5,7,8,9}.

Solución:
Las letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dígitos pueden elegirse de 7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de automóvil.

8.- Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos
1,2,4,6,7,8,9.

Solución:

Tenemos siete dígitos, de los cuales tres de ellos son menores que seis, los cuales pueden ser elegidos para la posición de las centenas. Así, tenemos tres opciones para las centenas. Habiendo elegido el dígito para las centenas, cualquiera de los seis dígitos
restantes se pueden seleccionar para las decenas y los cinco restantes para las unidades. Por lo tanto, se pueden formar 3x6x5 = 90 números con las condiciones dadas.

9.- Calcular cuántos números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.

Solución:
En este caso los dígitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dígitos 1,2,4 y las demás posiciones por cualquiera de los siete dígitos. Por lo tanto, tendremos 3x7x7 = 147 números

10.- Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.

Solución;
La primera letra puede ser la M o la S, es decir, hay dos maneras; la última letra puede ser la O, la U o la E, o sea, hay tres maneras. Habiendo escogido la primera y la última letra, quedan tres letras para las posiciones intermedias y como no pueden repetirse tendremos 3x2x1 = 6 maneras para seleccionarlas. En total tendremos 2x6x3 = 36 palabras diferentes.

11.- Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos
modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?
3x3x4x2 = 72

1-¿En cuántas formas pueden sentarse alternadamente 3 hombres y 2 mujeres en una banca para 5 personas?

Primero acomodamos al H1 (hombre 1) tiene 5 posibilidades para sentarse, luego al H2, tiene 4 posibilidades pues ya hay un asiento ocupado y así sucesivamente. Por lo que obtenemos una notación factorial = 5! = 5*4*3*2*1 =120

2-En una clase de 5 alumnos van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse si los premios son diferentes y si una persona no puede recibir más de un premio?

El primer premio le puede tocar a 5 personas, el segundo  cuatro personas y el tercero a tres, por lo que se resume en 5*4*3=60

 3- ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al nueve sin repetir ninguno?

Bueno tenemos nueve posibilidades sin contar el cero, pues sería de tres cifras, para el segundo tenemos 9 posibilidades, para el tercero 8 y para el cuarto 7 por lo que seria:*8*7= 4536

4-¿Cuántos números de 5 dígitos pueden formarse con los números del 0 al 9 sin que ninguno se repita?

Como en el problema anterior en el primero no contamos el 0 asi que la solución seria:*8*7*6*= 27216

5-¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra ZOOLOGICO?

El total de las letras es 9, por lo que para la Z hay 9 opciones  n=9 r=1 

Para la O hay 8 lugares, pero la letra se repite y la r=3

La L tiene 4 posibles lugares y solo se repite una vez n=4 r=1

Igual que la anterior la G tiene n=3 r=1

La I tiene n= 2 r=1

Por último la C tiene n=1 y r=1

Como en este caso no nos importa el lugar que ocupen las letras se trata de una combinación:

 * * * * * = 12096

6-  Un alumno tiene que 5 de las 7 preguntas de un examen ¿de cuantas maneras puede elegirlas?

Dado que el orden de las preguntas no importa se trata de una combinación, de la que el tota es n=10 y solo queremos r=7, por lo que es:  =120

7- un vendedor debe visitara 4 clientes ¿en cuántas ordenes diferentes puede hacer las visitas?

En este caso el orden es vital pues de él depende que una visita se diferencie de otra, por lo que hablamos de una permutación, en la que n=4 y r=4  es decir =24

8- de cuantas maneras distintas pueden ser os resultados de unas elecciones estudiantiles si hay 2 candidatos a presidente, 1 a vicepresidente y 3 a tesoreso?

Para los presidentes n=2 y solo pueden elegir a 1 por lo que r=1

Para el vicepresidente solo hay 1 candidato, entonces n=1 r=1

Para tesorero n=3 y r=1

Por lo que: 2*1*3= 6

9-¿de cuantas maneras distintas pueden seleccionarse 4 películas para ver en un día?

Hay 4 posibilidades y podemos ver 4

n=4 r=4

y el orden importa así que es una permutación:

  =24

10- ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8 sillas?

El orden importa es una permutación:

N=8

R=5

11- ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman todos a la vez?

R: Permutaciones. 5

P5 = 5! = 120
​
12- De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una
exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.
R: Combinaciones ​


13- Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede
realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?
R: Recorrido implica orden. ​


14- ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es
combinación. 7
C3 = 35.​


15- Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes
carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer?
R: No importa el orden de selección. 8
C5 = 56​


16- Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa.
a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin
diferenciar el color?
R: 12C5 = 792​
b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado
final tres dulces de menta y dos de fresa?
R: (8C3) (4C2) = (56)(6) =336​
c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar
cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa?
P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242​


17- Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan.​
a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas
funcionen?
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres
funcionen?
P(tres funcionen) = (7
C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917
una sin funcionar?
(3C1) (7C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin
funcionar?
P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203​


18- ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
P8 = 8! = 40.320.​


19- ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
P7 = 7! = 5.040.​


20- ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
P6 = 6! = 720

diferencias.
Conoces la diferencia entre burocracia y burocratismo? La palabra burocracia es normalmente asociada a cosas negativas, como lentitud en los trámites del gobierno e ineficiencia en los procesos de las empresas. No pretendo entrar en la cuestión de etimología de la palabra, y sí en lo que esto significa para tu empresa.
Burocracia es el conjunto de procesos y reglas que controlan el día a día de una organización. La palabra tiene origen en los procesos de gobierno, pero es completamente aplicable en las empresas, especialmente en grandes organizaciones que deben administrar el trabaje de miles de personas.
Es importante entender que la burocracia es importante y benéfica para las empresas. Sin ella, los procesos administrativos estarían sujetos a interpretaciones de los empleados y existiría mucha ineficiencia en todas las actividades. La dificultad en gestionar las tares impediría el crecimiento de algunas empresas al tamaño que tienen hoy.
Imagina como sería cuidar de una empresa como Ford, con sus 300 mil empleados en todo el mundo, sin reglas administrativas claras y estrictas. En tu empresa, independiente de su tamaño, la idea es la misma. Debes tener procesos que controlen desde el pago de sueldos hasta la compra de papelería.
La aplicación incorrecta de la burocracia lleva al burocratismo. Esto puede ser visto cuando son creadas más reglas que lo necesario para que el proceso funcione bien y sea controlado. También vemos burocratismo cuando una persona abusa del poder sobre un proceso para obtener beneficios propios.
Por ejemplo, si trabajas en una empresa con 30 empleados, no tiene sentido que el proceso de compra de una computadora deba pasar por la firma de 3 personas y quede en aguardo de una análisis del departamento de compras.
En resumen, si los procesos administrativos de la organización causan más problemas de los que resuelven, estos cayeron en el burocratismo.
En tu empresa, recuerda que los procesos burocráticos deben ser definidos para que no lleguen al burocratismo. Esto no es complicado, pero exige atención a cosas que muchas veces son dejadas de lado porque el liderazgo se preocupa con asuntos más “nobles”.
Algunas formas de reducir el burocratismo son:
1.    Reduce la estructura jerárquica. El personal administrativo debe tener la autoridad para tomar decisiones (empowerment) sin que cada pequeño detalle tenga que pasar por uno o más superiores.
2.    Simplifica los procesos. Diseña y viva los procesos para entender donde pueden ser eliminados pasos sin perjudicar el funcionamiento y control de las actividades.
3.    Descentraliza las tareas. Si tu empresa tiene varias unidades, define formas de realizar los procesos de forma local, sin concentrar todo en grandes estructuras en la matriz. Esto hará que los trámites sean más ágiles.
Seas tu el responsable por los procesos o no, debes actuar para influenciar la burocracia y sugerencias constructivas. Si solamente te quejas con tus colegas, no ayudarás la organización a corregir sus problemas.

Burocracia:

Ambigüedad del término:

Por una primera acepción, la Burocracia se considero para designar el poder del cuerpo de funcionarios y empleados de la administración estatal constituido para las tareas especializadas bajo la monarquía absoluta y dependiente del soberano.

En una segunda acepción, desarrollada por los Marxistas, quines se vieron obligados a prestar atención a los problemas organizativos. Los que provenían de un modelo sindicalista, tuvieron una percepción de los peligros internos de la existencia de un aparato fuerte y concentrado.

Los conceptos de Burocracia, burocratismo y burocratización se usan para indicar la progresiva rigidez del aparato del partido y del Estado a expensas de las exigencias de la democracia de la base. En el S. XIX, aparece otra concepción de la Burocracia, se la ve como un conjunto de estudios jurídicos y de ciencia de la administración alemanes que versan sobre el nuevo aparato administrativo prusiano organizado monocrática y genéricamente que sustituye a los viejos cuerpos administrativos colegiados. El concepto de burocracia, acá designa una teoría y una práctica de la administración pública que se considera la más eficiente posible.

Conceptualización Weberiana:

La burocracia se encuadra dentro de su análisis de los tipos de dominio. Tiene 2 elementos esenciales, la legitimidad y el aparato administrativo. Va a establecer una distinción entre el dominio legítimo, es decir tradicional (creencia en reglas y poderes antiguos) legal-burocrático (normas formales y abstractas) y carismático (poderes y cualidades excepcionales), y el no legítimo. Define a la burocracia como la estructura administrativa de la que se vale el tipo más puro de dominio legal.

Los tipos ideales incluyen tres distintos niveles de análisis:

v     La burocracia como concepto: tiene un prerrequisito de una organización  burocrática está constituido por la existencia de las reglas abstractas a las que están ligados el detentador del poder, el aparato administrativo y los dominados. Una organización burocrática se caracteriza por relaciones de autoridad entre posiciones ordenadas sistemáticamente en un modo jerárquico, por esferas de competencia definidas, por una elevada división del trabajo y por una clara separación entre persona y oficio. El personal empleado por una estructura administrativa burocrática es típicamente libre y en virtud de clasificaciones técnicas específicas se le compensa con una paga fija, tiene una carrera regular y considera el propio trabajo como una ocupación de tiempo completo.

v     La Burocracia como modelo histórico: Weber no se limita a enunciar de manera estática las características del tipo de dominio legar-burocrático sino que constituye con ellas un modelo dinámico. Este modelo especifica como modelos empíricamente semejantes funcionan bajo determinadas condiciones y explicitan una gama de variaciones que incluyen las tendencias hacia una mayor estabilidad. Además considera algunos presupuestos históricamente  importantes para el surgimiento y la consolidación de aparatos burocráticos, que son tres: la existencia de un sistema de racionalidad legal, el desarrollo de una economía monetaria y la expansión cualitativa y cuantitativa de las tareas administrativas. La falta de algunas de ellas, no significa que no se pueda hablar de una burocracia sino que identifica una línea de desarrollo del sistema burocrático. Esta tendencia conduce a una centralización del aparato burocrático y a su transformación en una estructura patrimonial.

Weber destaca los principales efectos de la democracia moderna. Por un lado, la concentración de los medios de administración y de gestión en manos de los que detentan el poder. Por el otro, la nivelación de las diferencias sociales que resulta del ejercicio de la autoridad conforme a las reglas abstractas e iguales para todos y de la exclusión de consideraciones personalistas en el reclutamiento de los funcionarios. Además, Weber, considera los conflictos potenciales inherentes a un sistema de dominio legal-burocrático. El principio de legitimidad de un sistema de autoridad legal contiene una tensión interna entre justicia formal y justicia sustancial que so concreta en la relación compleja entre burocracia y democracia de masa. La tensión entre justicia formal y sustancial es un dilema que no puede eliminarse en un sistema de dominio legal, cuando se modifica este difícil equilibrio, en un sentido o en otro, el sistema de dominio legal se ve sometido a transformaciones. De la misma forma, sostiene que el estado moderno no puede prescindir de la burocracia, la única alternativa que tiene en la administración pública es el diletantismo (de admirador).

v     Teorías seculares de la burocracia: el proceso de burocratización no sea ni unilineal ni irreversible: “se debe observar siempre en qué dirección específica avanza la burocratización en cada caso histórico particular”. Las teorías seculares son numerosas en la obra de Weber, se refieren a la burocracia patrimonial china, al surgimiento y la consolidación del aparato burocrático estatal en la Europa continental, al distinto desarrollo de la administración estatal en Inglaterra.

Algunos problemas de las burocracias públicas modernas:

El estudio Weberiano esta ligado a la situación política de los primeros años del siglo, ha registrado algunos problemas cruciales que después han sido objeto de numerosos análisis. Diversos estudios sobre la composición social de la burocracia han llegado a la conclusión unánime de que casi la totalidad de los altos funcionarios proviene de familias de clase superior media. El sistema escolar tiene también un cierto influjo en las dimensiones del aparato burocrático, cuando la afluencia de diplomados y titulados al mercado de trabajo es superior a la demanda de la economía, la administración estatal se convierte en la salida más frecuente. Hay dos variables que influyen en el grado de la autonomía con respecto al control administrativo político de los aparatos administrativos modernos, una habla de la medida en que un código de ética profesional que destaque la neutralidad política de la burocracia, la otra, se refiere al grado de legitimidad y de estabilidad del sistema político.

El análisis de las relaciones entre burocracia y grupos de interés ha llevado también a muchos investigadores a reformula el problema de la eficiencia administrativa, en un régimen político pluralista esto implica una mayor ductilidad de la acción administrativa y una amplia disponibilidad de la burocracia a la contratación y al compromiso con los diversos grupos sociales.

El modelo burocrático y el análisis de las organizaciones:

La conceptualización Weberiana de la burocracia en su poder analítico disminuye el análisis microsocial de las organizaciones. Se pueden identificar dos puntos fundamentales. Por un lado, nos ofrece una descripción cuidadosa de las estructuras organizativas, una confusión entre burocracia y profesionalismo existe también dentro del concepto Weberiano de la autoridad que se basa al mismo tiempo en la jerarquía y en la competencia. Por el otro, sostiene que su grupo ideal es una mezcla indebida de un esquema conceptual y de una serie de hipótesis. Weber no ha tomado en cuenta los aspectos informales de las organizaciones y que no ha sabido prever las disfunciones burocráticas.

De la sociología de la organización, se desprendes dos tendencias. La primera consiste en volver a prestar atención a las estructuras formales y a las normas organizativas como elementos que delimitan la arena en la que se libra la lucha por el poder de los grupos internos de la organización. La segunda consiste en conceptualizar la relación entre organización y ambiente, que ya no prevalece desde el punto de vista de la organización, destacando, en una visión funcionalista, los mecanismos de sobrevivencia y de adaptación, sino también, desde el punto de vista de las consecuencias de la acción organizativa de la sociedad.

Nociones de probabilidad frecuencial

• Nociones
• Probabilidad frecuencial

 NOCIONES 

Los juegos de azar son tan antiguos como la humanidad, antes de usar los dados, la ruleta, las monedas y la baraja se jugaba con las tabas.

     Algunos de los primeros dados fueron hechos de arcilla, cuero o hueso hace más de 4 000 años. Los griegos usaron los sólidos platónicos para hacer dados poliédricos y, seguramente, practicaron algunas actividades de azar ante Tique, su diosa de la suerte.

Experimentos aleatorios

Si se considera que un experimento determinista es aquel en el que se obtiene el mismo resultado cada vez que se lleva a cabo, entonces un juego de dados no es un experimento de este tipo, pues se ignora cuáles serán los números que saldrán.

      Esto significa que el juego de dados es un experimento aleatorio pues se pueden obtener diferentes resultados y no se sabe cuál será el de la siguiente vuelta.

    Sin embargo, sí es posible analizar y resolver problemas relacionados con experimentos aleatorios, determinando todos los resultados posibles.

      En un experimento aleatorio, los resultados posibles son aquellos que pueden suceder cada vez que se repite el experimento.

      Ejemplos:

     Lanzamiento de un dado:

     Los resultados posibles son:  1, 2, 3, 4, 5 y 6.

   
    Lanzamiento de una moneda:

    Los resultados posibles son a y s.

 

     Lanzamiento de un dado y una moneda:

     Los resultados posibles son:

(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (5, a), (6, a)

(1, s), (2, s), (3, s), (4, s), (5, s), (6, s)

      En resumen:

     La probabilidad es el grado de certidumbre con que se mide la ocurrencia de cierto resultado.

     La probabilidad se mide con valores que van desde cero, para la imposibilidad de ocurrencia, hasta 1, cuando se tiene toda la seguridad de que se presentará cierto resultado.

    Cuando consideramos que en un evento todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrencia o no, hablamos de la probabilidad que se conoce como probabilidad clásica.

 

 PROBABILIDAD FRECUENCIAL

Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se calcula la siguiente expresión.

 

      Ejemplo:

      Después de jugar 30 partidas de dados, dos jugadores obtuvieron los siguientes resultados:

 

Partida 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Jugador 1	8	3	8	3	3	3	8	3	3	8	3	8	3	8	3
Jugador 2	2	6	2	6	2	6	6	2	2	6	2	6	6	6	2
Ganador	1	2	1	2	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1	1

Partida 2	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Jugador 1	8	3	3	3	8	3	3	3	3	8	3	3	3	3	8
Jugador 2	2	6	2	2	6	6	6	2	2	6	6	2	2	6	2
Ganador	1	2	1	1	1	2	2	1	1	1	2	1	1	2	1

        Los resultados que se observan en la tabla confirman que el juego de dados es un experimento aleatorio.

      Para concentrar la información, se puede utilizar una tabla como ésta:

 

     La tabla se completa aplicando la definición frecuencial de probabilidad, también llamada probabilidad frecuencial o probabilidad empírica.

    Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los resultados y se calcula con la expresión para obtener dicha probabilidad:

      Para el caso de la tabla, si P (A) = probabilidad frecuencial de que el jugador 1 gane el juego, entonces:

Número de veces que se obtiene el resultado que interesa = 21

Número de repeticiones del experimento = 30

 

     Siguiendo un proceso parecido se puede encontrar la probabilidad frecuencial P (B) de que el jugador 2 gane el juego:

 

     Así, es más probable que el jugador 1 gane, ya que:

 

     Entonces, el jugador 1 es el ganador.
 
Fórmula clásica de probabilidad

    En algunos experimentos aleatorios se pueden determinar todos los resultados posibles, de tal manera que tengan las mismas oportunidades de ocurrir. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, se considera que es simétrico y homogéneo, por lo que cada uno de los resultados posibles 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tienen las mismas posibililidades de ocurrir. Entonces, cada uno de ellos tendrá la misma probabilidad.

 

      Si se desea la probabilidad de obtener menos de 3 puntos al lanzar el dado, primero se deben localizar de los resultados posibles aquellos en que se obtienen menos de 3 puntos.

 

      El evento A consta de los resultados posibles 1 y 2, por lo que:

 

     Los resultados posibles que favorecen que ocurra un evento A se llaman resultados favorables para A.

    Para obtener la probabilidad de un evento A en un experimento aleatorio se procede así:

Determinar el total de resultados posibles. 



Establecer el número de resultados favorables al evento A. 
.Usar la fórmula clásica de probabilidad.